La Verdadera forma de la Tierra (Geoide y no Elipsoide)

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La forma general de la Tierra
Para hacer cálculos sencillos y aproximados, es conveniente pensar que la Tierra es una esfera. No obstante, como se vió en la sección anterior, en la realidad la forma de nuestro planeta es más compleja: Ligeramente achatada en los polos y abultada en el Ecuador, con el hemisferio sur un poco más voluminoso que el norte, y con la rugosidad propia que le da el relieve del terreno.

Figura 2.4: Forma general de la Tierra

Observaciones detalladas mediante técnicas modernas han mostrado que si exagerásemos estas características, la Tierra se asemejaría más bien a una pera, como muestra la siguiente figura adaptada de [Seeber, 1993].

Figura 2.5: Forma de pera de la Tierra

Nótese que a esta forma general hay que agregarle la correspondiente a la orografía de la superficie terrestre que es muy compleja, tal y como lo refleja la figura 2.6 que muestra el relieve del planete, incluyendo el fondo de los océanos.

Figura 2.6: Relieve de la Tierra. Fuente: NOAA

Por otra parte, hay que tener en cuenta que la altura de la montaña más alta del planeta, el Monte Everest, es de 8844 m [Wikipedia, 2006d]. Esto representa menos del 0,14% del radio medio de la Tierra. Por la razón anterior, es razonable utilizar aproximaciones en vez de la forma general del planeta para muchas aplicaciones, en particular la navegación global.

El elipsoide
En general, es más práctico trabajar la forma de la Tierra como si fuera un elipsoide, sin considerar las ondulaciones propias de la topografía. Esto se debe a que el elipsoide es una figura matemática fácil de usar que es lo suficientemente parecida a la forma de la Tierra cuando se están trabajando las coordenadas en el plano: Latitud y Longitud.

Existen diferentes modelos de elipsoides utilizados en geodesia, denominados elipsoides de referencia. Las diferencias entre éstos vienen dadas por los valores asignados a sus parámetros más importantes:


Semieje ecuatorial (a) o Semieje mayor: Longitud del semieje correspondiente al ecuador, desde el centro de masas de la Tierra hasta la superficie terrestre.

Semieje polar (b) o Semieje menor: Longitud del semieje desde el centro de masas de la Tierra hasta uno de los polos. Alrededor de este eje se realiza la rotación de la elipse base2.6.
La relación entre el eje ecuatorial y el polar se presenta en la figura 2.7.

Figura 2.7: Ejes de un elipsoide de revolución

Es habitual describir matemáticamente a una elipse como esta mediante la ecuación 2.2.
(2.2)

Factor de achatamiento (f): Este factor representa qué tan diferentes son los semiejes entre sí. Su expresión es:

(2.3)

Note que mientras más cerca de cero se encuentre f, más parecido a una esfera es el elipsoide. Por lo general el factor f es muy pequeño, por lo que se acostumbra proporcionar 1/f . Por la misma razón a veces, y para cálculos simples, se utiliza una esfera en vez de un elipsoide2.7.

Una manera equivalente de indicar f es mediante la excentricidad de la elipse transversal:

(2.4)
Que es equivalente a:

(2.5)

Los valores de estos parámetros para algunos elipsoides de referencia importantes se presentan en la tabla 2.1 (adaptada de [-blox ag., 1999]):

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Uno de los elipsoides de referencia más utilizados actualmente es el descrito en el sistema denominado World Geodetic System 84 (WGS-84), desarrollado por el Departamento de Defensa de los EEUU, y que tiene como origen el centro de masas de la Tierra. Su popularidad se debe a que es el utilizado por el sistema de posicionamiento global por satélite GPS.

El elipsoide WGS-84 define los parámetros para la Tierra indicados en la tabla 2.2.2.8

Tabla 2.2: Parámetros de la Tierra según WGS-84 Nombre Símbolo Valor
Semieje mayor de la elipse a 6378,137000 km
Semieje menor de la elipse b 6356,752314 km
Factor de achatamiento 1/298,257223563
Velocidad angular de la Tierra 7292115 . rad/s


El geoide
No obstante la ventaja de ser una figura matemática sencilla, el elipsoide no es adecuado cuando lo que deseamos medir son altitudes. Dado que la mayor parte de la Tierra está cubierta por mares y océanos (70,8 %, según [Wikipedia, 2006d]), entonces la superficie de referencia por excelencia para medir altitudes es el nivel medio del mar. Además, este nivel medio es una mejor aproximación a la forma real de la Tierra vista desde el espacio.

El nivel medio del mar, a su vez, depende de las irregularidades en el campo gravitatorio de la Tierra (véase la sección 2.1.3), que alteran su posición. El agua de los océanos del globo busca estar en equilibrio, y por ello tiende a seguir una superficie gravitatoria equipotencial.

Es por esto que se introduce una nueva figura llamada Geoide, definida como: La superficie equipotencial del campo gravitatorio de la Tierra que mejor se ajusta (en el sentido de mínimos cuadrados), al nivel medio global del mar2.9 (ver [National Geodetic Survey, 2006]). Una de las consecuencias de esta definición es que el geoide es siempre perpendicular al vector de gravedad local en cada punto.

La figura 2.8 (adaptada de [Seeber, 1993]) muestra una comparación entre el geoide y el elipsoide:


Figura 2.8: Comparación entre el Geoide y el Elipsoide

Como ya se mencionó, es fácil asociar el geoide al nivel medio del mar en las zonas oceánicas. Esto se muestra en la figura 2.9, donde se grafica la diferencia vertical entre geoide y elipsoide y pueden apreciarse diferencias de hasta 150 m. Por otra parte, sobre los continentes lo que se hace es tomar medidas cuidadosas para extender el concepto a las zonas secas, lo que permite utilizar una referencia de alturas común y coherente2.10.

Figura 2.9: Diferencia vertical geoide-elipsoide. Fuente: NASA.

Medir el geoide a nivel mundial es una tarea difícil, pues la corteza terrestre no es homogénea y por tanto su densidad no es uniforme, lo que altera la fuerza de gravedad en un punto dado. Asimismo, ya se comentó que grandes masas de rocas (como cordilleras, montañas y volcanes) pueden alterar también el vector de gravedad local. La tabla 2.3 muestra densidades para diferentes materiales que componen la superficie terrestre (adaptadas de [Torge, 1991]), mientras que la figura 2.10 presenta una gráfica que muestra (de manera muy exagerada) la forma del geoide en el hemisferio que contiene Europa y África.

Tabla 2.3: Densidades relativas de materiales de la superficie terrestre. Material Densidad ()
Agua 1030
Sedimentos 2000 a 2500
Granito 2500 a 2800
Flujos de lava 2700
Basalto 2700 a 3100
Peridotita 3300 a 3400


Figura 2.10: Geoide en Europa y África. Fuente: Misión GRACE (NASA).

Si bien el geoide es una superficie compleja, es posible aproximarse a la expresión del potencial gravitatorio de la Tierra (de donde el geoide se deriva) mediante un desarrollo en serie en esféricos armónicos2.11 (para mayores detalles consulte [Wikipedia, 2006f] y [Wikipedia, 2006l]).

Por otro lado, es posible relacionar matemáticamente al geoide y el elipsoide mediante la expresión:

h = H + N

Donde h es la altura de un punto con respecto al elipsoide(altura elipsoidal), N es la altura del geoide respecto al elipsoide (ondulación del geoide) y H es la altura del punto con respecto al geoide (llamada altura ortométrica). La figura 2.11 muestra esta relación.

Figura 2.11: Relación entre el Geoide y el Elipsoide

Note que tanto como son perpendiculares al elipsoide de referencia, mientras que es la altura medida a lo largo de la línea de plomada (perpendicular al geoide y cuya curvatura ha sido exagerada en la figura).

Mediante esta relación, y con la ayuda de las series en esféricos armónicos mencionadas previamente, es posible escribir programas que aproximen los valores del geoide. Un ejemplo de ello es el proporcionado por la NGA (ver [NGA, 2006b] y [NGA, 2006a]), donde se relaciona el geoide con el elipsoide WGS-84.

La tabla 2.4 presenta los valores de N (ondulación del geoide) para algunas ciudades del mundo según el NGA WGS 84 Geoid Calculator ([NGA, 2006a]).

Tabla 2.4: Ondulación del geoide para algunas ciudades. Ciudad N (m)
Barcelona 48,61
Berlín 39,79
Buenos Aires 14,34
Lahore -43,60
Londres 47,37
Madrid 53,44
Quito 26,13
Seattle -19,38
Singapur 7,03
Tel Aviv 17,30

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